מה אני חוקר – חלק 1.2 – חומר מורכב ומטריצת מעבר

בפעם הקודמת הסברנו קצת על חומרים מורכבים, והדגשנו את העובדה שמעבר של אור דרכם הוא תהליך ליניארי. לפני שנמשיך חשוב להעיר שהסכום קורה ברמת *השדה החשמלי* ולא העצמה (אותה אנחנו מודדים במצלמה), ולכן נראה אפקטים של התאבכות. השלכה מתמטית יותר היא שכשאנחנו מתארים את התהליך הליניארי אנחנו צריכים לחשוב על מספרים מרוכבים (עם אמפליטודה ופאזה, כמו שדה חשמלי) ולא סתם על מספרים ממשיים.

נרצה לתאר מתמטית את המערכת שלנו באמצעות אלגברה ליניארית, כאשר השדה בכניסה יתואר על ידי וקטור בבסיס כלשהו, השדה ביציאה (תבנית הSpeckles) יתואר על ידי וקטור בבסיס כלשהו, ואת החומר המורכב נתאר באמצעות מטריצה, שנקרא לה מעתה *מטריצת מעבר* (Transmission matrix) (ראו איור למטה).

ביציאה מאוד הגיוני ונוח לבחור בתור בסיס את בסיס הפיקסלים: כל פיקסל שהמצלמה רואה יהיה איבר בווקטור (החד ממדי) שמייצג את השדה ביציאה. באופן דומה אפשר להחליט כי אזורים שונים בכניסה לחומר המורכב יהוו רכיבי בסיס שונים, או שאפשר לדבר על אותו מיקום אבל עם זוויות שונות. עקרונית ניתן לבחור איזה בסיס שאנחנו רוצים גם בכניסה וגם ביציאה, ובהמשך אולי נדון מעט בדקויות.

נזכור כעת איך מלכסנים מטריצות: עבור מטריצת מעבר A וערך עצמי e רושמים את המטריצה A-e*I, משווים ל0, ופותרים בעזרת פולינום אופייני. מכיוון שהמטריצה מרוכבת תמיד יהיו ערכים עצמיים כדרגת המטריצה מהמשפט היסודי של האלגברה. מכיוון שמדובר במדידה פיזיקלית, הסיכוי ששני ערכים עצמיים יהיו זהים לחלוטין הוא אפקטיבית 0, ולכן המטריצה תמיד ניתנת ללכסון.

אז הבנו שבזכות השיקול הפשוט של הליניאריות בשדה החשמלי אנחנו יכולים לתאר מערכת עם פיזיקה שיכולה להיות מאוד מורכבת בעזרת מטריצה מרוכבת פשוטה, ובפרט ניתן ללכסן את המטריצה הזו.

אם מילים כמו וקטורים עצמיים וערכים עצמיים מתחילים להסתובב לכם בראש – מצוין! בפעם הבאה נתאר כבר במפורש איזה מין קסמים נובעים מהתיאור המתמטי הפשוט הזה :)